공통수학2명제수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정수근이 없음 증명

문제

다음은 ‘pp가 짝수, qq가 홀수이면 방정식 x2+px−2q=0x ^{2} + p x - 2 q = 0은 정수근을 갖지 않는다.’는 것을 증명한 것이다.

[ 증 명 ]
xx가 □(가)\square {\text{(가)}}이면 x2x ^{2}은 □(가)\square {\text{(가)}}이고 px−2qp x - 2 q는 짝수이다. 따라서 x2+px−2qx ^{2} + p x - 2 q가 □(가)\square {\text{(가)}}가 되므로 □(나)\square {\text{(나)}}이 될 수 없다. xx가 □(다)\square {\text{(다)}}이면 x2+pxx ^{2} + p x는 44의 배수이고 2q2 q는 44의 배수가 아니다. 그런데 □(라)\square {\text{(라)}}이므로 모순이다. 따라서, 이 방정식은 정수근을 갖지 않는다.

위의 증명에서 (가)～(라)에 알맞은 것은? [1.5점] (가) (나) (다) (라) ①짝수, 00, 홀수, x2+px=2qx ^{2} + p x = 2 q②짝수, 이차식, 홀수, 2q2 q는 짝수③정수, 00, 짝수, x2+px=2qx ^{2} + p x = 2 q④홀수, 이차식, 짝수, 2q2 q는 짝수⑤홀수, 00, 짝수, x2+px=2qx ^{2} + p x = 2 q

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⑤

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해설

xx가 (홀수)이면 x2x ^{2}은 (홀수)이고 (∵x=2n−1x = 2 n - 1일 때, x2=4n2−4n+1x ^{2} = 4 n ^{2} - 4 n + 1) px−2qpx - 2 q는 짝수이다. 따라서, x2+px−2qx ^{2} + px - 2 q가 (홀수)가 되므로 (0)이 될 수 없다. (∵ x2x ^{2}은 홀수 px−2qpx - 2 q는 짝수) xx가 (짝수)이면 x2+pxx ^{2} + px는 44의 배수이고 2q2 q는 반드시 44의 배수 아니다. 그런데 (x2+px=2q)( x ^{2} + px = 2 q )이므로 모순이다. (∵ 좌변은 44의 배수, 우변은 반드시 44의 배수가 아니다.) 따라서, 이 방정식은 정수근을 갖지 않는다.

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#홀짝#증명

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