미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정수부분과 소수부분을 이용한 극한

문제

일반항이 an=9n2−2n−[9n2−2n]\displaystyle a _{n} = \sqrt{9 n ^{2} - 2 n} - \left[ \sqrt{9 n ^{2} - 2 n} \right] 인 수열{an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}의 값은? (단, [x][ x ]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) ①19\displaystyle \frac{1}{9}②17\displaystyle \frac{1}{7}③29\displaystyle \frac{2}{9}④13\displaystyle \frac{1}{3}⑤23\displaystyle \frac{2}{3}

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⑤ 23\displaystyle \frac{2}{3}

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해설

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 9n2−2n\displaystyle \sqrt{9 n ^{2} - 2 n}의 소수부분이고 (3n−1)2<9n2−2n<(3n)2\displaystyle \sqrt{( 3 n - 1 ) ^{2}} < \sqrt{9 n ^{2} - 2 n} < \sqrt{( 3 n ) ^{2}} 이므로 9n2−2n\displaystyle \sqrt{9 n ^{2} - 2 n}의 정수부분은 3n−13 n - 1이다. 즉, an=9n2−2n−(3n−1)\displaystyle a _{n} = \sqrt{9 n ^{2} - 2 n} - ( 3 n - 1 ) 로 나타낼 수 있다. 따라서 lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞{9n2−2n−(3n−1)}\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left\{ \sqrt{9 n ^{2} - 2 n} - ( 3 n - 1 ) \right\} =lim⁡n→∞(9n2−2n)−(3n−1)29n2−2n+(3n−1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{( 9 n ^{2} - 2 n ) - ( 3 n - 1 ) ^{2}}{\sqrt{9 n ^{2} - 2 n} + ( 3 n - 1 )} =lim⁡n→∞4n−19n2−2n+(3n−1)\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{4 n - 1}{\sqrt{9 n ^{2} - 2 n} + ( 3 n - 1 )} =23\displaystyle = \frac{2}{3}

태그

#가우스함수#유리화#극한

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