정수·소수부분 지수식

[출제의도] 지수와 로그의 성질과 밑변환 공식 이해하기 $2 = \log _{2} 4 < \log _{2} 5 < \log _{2} 8 = 3$이므로 $\log _{2} 5$의 정수부분은$2$, 소수부분은$\log _{2} 5 - 2$이다. $\displaystyle \frac{2 ^{x} + 2 ^{y}}{2 ^{-x} + 2 ^{-y}} = \frac{2 ^{2} + 2 ^{\log _{2} 5 - 2}}{2 ^{-2} + 2 ^{- ( {\log _{2} 5 - 2 )}}}$$\displaystyle = \frac{4 + \frac{5}{4}}{\frac{1}{4} + {\frac{4}{5}}} = 5$ <별해> $\displaystyle \frac{2 ^{x} + 2 ^{y}}{2 ^{-x} + 2 ^{-y}}$의 분모와 분자에 $2 ^{x} 2 ^{y}$을 곱하면 $\displaystyle \begin{aligned} & \frac{2 ^{x} 2 ^{y} \left( 2 ^{x} + 2 ^{y} \right)}{2 ^{x} 2 ^{y} \left( 2 ^{- x} + 2 ^{- y} \right)} = \frac{2 ^{x} 2 ^{y} \left( 2 ^{x} + 2 ^{y} \right)}{2 ^{y} + 2 ^{x}} = & 2 ^{x} 2 ^{y} = 2 ^{x + y} = 2 ^{\log _{2} 5} = 5 \end{aligned}$