정수 조건 순서쌍

[출제의도] 중복순열을 이용하여 경우의 수를 추론한다. (ⅰ) $a = 0$인 경우 $\displaystyle \frac{bc}{a}$가 정의되지 않으므로 정수가 되는 경우는 존재하지 않는다. (ⅱ) $a = 1$인 경우 $\displaystyle \frac{bc}{a}$는 항상 정수이므로 $b$, $c$를 정하는 경우의 수는 $0$, $1$, $2$, $3$에서 $2$개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ${} _{4} \Pi _{2}$$= 4 ^{2} = 16$ (ⅲ) $a = 2$인 경우 $bc = 2 k$($k$는 정수)일 때 $\displaystyle \frac{bc}{a}$가 정수이다. $a = 2$일 때 $b$와 $c$를 택하는 전체 경우의 수 $16$에서 $b$와 $c$가 모두 홀수인 경우의 수 $4$를 빼면 되므로 $16 - 4 = 12$ (ⅳ) $a = 3$인 경우 $bc = 3 k$($k$는 정수)일 때 $\displaystyle \frac{bc}{a}$가 정수이다. $a = 3$일 때 $b$와 $c$를 택하는 전체 경우의 수 $16$에서 $bc \ne 3 k$인 경우의 수를 빼면 된다. $bc \ne 3 k$인 경우의 수는 $1$, $2$에서 $2$개를 택하는 중복순열의 수 ${} _{2} \Pi _{2}$$= 4$이므로 $16 - 4 = 12$ (ⅰ)~(ⅳ)에 의하여 $\displaystyle \frac{bc}{a}$가 정수가 되도록 하는 모든 순서쌍 $\left( a , b , c \right)$의 개수는 $16 + 12 + 12 = 40$