정수 항이 셋인 등비급수

등비수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 공비를 $r$이라 하면 급수 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n}$이 수렴하므로 $- 1 < r < 1$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 조건 (나)에서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 항의 개수는 $3$이고, 이 세 항의 곱이 $216$이므로 등비중항의 성질에 의하여 세 항을 $\displaystyle \frac{6}{R}$, $6$, $6 R$ ($R = r ^{k}$이고, $k$는 자연수) 라 할 수 있다. 이때 $6 R$, $\displaystyle \frac{6}{R}$이 모두 정수이므로 $R = \pm 2 ^{m} 3 ^{n}$ (단, $- 1 \leq m \leq 1$, $- 1 \leq n \leq 1$, $m$, $n$은 정수) 의 꼴이다. ㉠에서 $- 1 < r < 1$이므로 $- 1 < R < 1$ 따라서 $R$의 값으로 가능한 값은 $\displaystyle R = \pm \frac{1}{6}$ 또는 $\displaystyle R = \pm \frac{1}{3}$ 또는 $\displaystyle R = \pm \frac{1}{2}$ 또는 $\displaystyle R = \pm \frac{2}{3}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 이때, $r$이 유리수이므로 ㉡에서 $R = r$이다. (ⅰ) $\displaystyle r = \frac{1}{6}$일 때 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 세 항은 $36$, $6$, $1$이고 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 항이 세 개뿐이므로 $a _{1} = 36$, $a _{2} = 6$이다. 이는 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle r = - \frac{1}{6}$일 때 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 세 항은 $- 36$, $6$, $- 1$이고 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 항이 세 개뿐이므로 $a _{1} = - 36$, $a _{2} = 6$이다. 이는 첫째항이 양수라는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅲ) $\displaystyle r = \frac{1}{3}$일 때 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 세 항은 $18$, $6$, $2$이고 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 항이 세 개뿐이므로 $a _{1} = 18$, $a _{2} = 6$이다. 이는 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅳ) $\displaystyle r = - \frac{1}{3}$일 때 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 세 항은 $- 18$, $6$, $- 2$이고 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 항이 세 개뿐이므로 $a _{1} = - 18$, $a _{2} = 6$이다. 이는 첫째항이 양수라는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅴ) $\displaystyle r = \frac{1}{2}$일 때 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 세 항은 $12$, $6$, $3$이고 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 항이 세 개뿐이므로 $a _{1} = 12$, $a _{2} = 6$이다. 이는 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅵ) $\displaystyle r = - \frac{1}{2}$일 때 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 세 항은 $- 12$, $6$, $- 3$이고 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 항이 세 개뿐이므로 $a _{1} = - 12$, $a _{2} = 6$이다. 이는 첫째항이 양수라는 조건을 만족시키지 않는다. (ⅶ) $\displaystyle r = \frac{2}{3}$일 때 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 세 항은 $9$, $6$, $4$이다. 이때 $\displaystyle a _{1} \geq \frac{9}{r} = \frac{27}{2}$이므로 $\displaystyle a _{1} + a _{2} \geq \frac{27}{2} + 9 \geq \frac{45}{2}$이고 조건 (가)를 만족시키지 않는다. (ⅷ) $\displaystyle r = - \frac{2}{3}$일 때 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 정수인 세 항은 $- 9$, $6$, $- 4$이다. 이때 $\displaystyle a _{1} = - \frac{9}{r} = \frac{27}{2}$이면 $a _{2} = - 9$이므로 조건 (가)를 만족시킨다. 만약 $\displaystyle a _{1} \geq - \frac{9}{r ^{3}} = \frac{243}{8}$이면 $\displaystyle a _{1} + a _{2} \geq \frac{243}{8} + \left( \frac{- 81}{4} \right) = \frac{81}{8}$이므로 조건 (가)를 만족시키지 않는다. 이상에서 $\displaystyle a _{1} = \frac{27}{2}$, $\displaystyle r = - \frac{2}{3}$이므로 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{a _{1}}{1 - r} = \frac{\frac{27}{2}}{1 - \left( - \frac{2}{3} \right)} = \frac{81}{10}$ 따라서 $p = 10$, $q = 81$이므로 $p + q = 91$