정수 개수 수열의 극한

[출제의도] 이차부등식의 해를 이용하여 수열의 극한값을 구하는 문제를 해결한다. $x$에 대한 부등식 $x ^{2} - 4 nx - n < 0$의 해는 $\displaystyle 2 n - \sqrt{4 n ^{2} + n} < x < 2 n + \sqrt{4 n ^{2} + n}$ $\displaystyle 2 n < \sqrt{4 n ^{2} + n} < 2 n + 1$에서 $\displaystyle - 1 < 2 n - \sqrt{4 n ^{2} + n} < 0$ $\displaystyle 4 n < 2 n + \sqrt{4 n ^{2} + n} < 4 n + 1$ 부등식 $x ^{2} - 4 nx - n < 0$을 만족시키는 정수 $x$는 $0$, $1$, $2$, $\cdots$, $4 n$ 이므로 그 개수는 $4 n + 1$이다. $a _{n} = 4 n + 1$에서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sqrt{na _{n}}} = \infty$이다. $p \leq 0$이면 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{na _{n}} - pn \right)} = \infty$이므로 $p > 0$이다. $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{na _{n}} - pn \right)}$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( \sqrt{4 n ^{2} + n} - pn \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 4 - p ^{2} \right) n ^{2} + n}{\sqrt{4 n ^{2} + n} + pn}}$ $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 4 - p ^{2} \right) n ^{2} + n}{\sqrt{4 n ^{2} + n} + pn}} = q$이려면 $4 - p ^{2} = 0$에서 $p > 0$이므로 $p = 2$ $q$$\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{n}{\sqrt{4 n ^{2} + n} + 2 n}}$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{4} + 2}$$\displaystyle = \frac{1}{4}$ 따라서 $100 pq$$\displaystyle = 100 \times 2 \times \frac{1}{4}$$= 50$