정사영의 넓이

[출제의도] 정사영의 성질을 활용하여 추론하기

정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $36$ 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영의 넓이가 $18$이므로 두 평면 $\mathrm{ABCD}$와 $\alpha$가 이루는 예각의 크기를 $\theta _{1}$이라 하면 $36 \times \cos \theta _{1}$$= 18$이므로 $\theta _{1}$$\displaystyle = \frac{\pi}{3}$ 점 $\mathrm{F}$의 평면 $\alpha$ 위로의 정사영이 $\mathrm{H}$이므로 두 평면 $\mathrm{ABEF}$와 $\alpha$가 이루는 예각의 크기를 $\theta _{2}$라 하면 $\cos \theta _{2}$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{AH}}}}{{\overline{\mathrm{AF}}}}$$\displaystyle = \frac{6 \sqrt{3}}{12}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2}$이므로 $\theta _{2}$$\displaystyle = \frac{\pi}{6}$ 두 평면 $\mathrm{ABCD}$와 $\mathrm{ABEF}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\theta$$= \theta _{1} - \theta _{2}$$\displaystyle = \frac{\pi}{6}$ 따라서 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 평면 $\mathrm{ABEF}$ 위로의 정사영의 넓이를 $S'$이라 하면 $S'$$\displaystyle = 36 \times \cos \frac{\pi}{6}$$\displaystyle = 18 \sqrt{3}$