정사영의 넓이

[출제의도] 정사영의 개념을 이용하여 문제해결하기 $\displaystyle {\overline{PH}} = \frac{1}{3} {\overline{DH}} = 2$, $\displaystyle {\overline{EH}} = 6$, $\displaystyle \angle PHE = \frac{\pi}{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{PE}} = {\overline{QE}} = 2 \sqrt{10}$, $\displaystyle {\overline{PQ}} = {\overline{HF}} = 6 \sqrt{2}$ 선분 $PQ$의 중점을 $T$라 하면 $\displaystyle {\overline{PE}} ^{2} = {\overline{PT}} ^{2} + {\overline{TE}} ^{2}$이므로 $\displaystyle {\overline{TE}} = \sqrt{22}$ 삼각형 $PQE$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times 6 \sqrt{2} \times \sqrt{22} = 6 \sqrt{11}$

선분 $AC$의 중점을 $M$, 선분 $EG$의 중점을 $N$, 선분 $NG$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $S$라 하자. 선분 $MN$을 $2 : 1$로 내분하는 점은 $T$이고 선분 $MG$와 선분 $TS$는 평행하므로 평면 $BDG$와 평면 $PQE$가 이루는 예각의 크기는 직선 $ET$와 직선 $TS$가 이루는 예각의 크기와 같다. $\angle ETN = \alpha$, $\angle STN = \beta$라 하고 평면 $BDG$와 평면 $PQE$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 하면 $\theta = \pi - ( \alpha + \beta )$ $\displaystyle \tan \alpha = \frac{{\overline{EN}}}{{\overline{TN}}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle \tan \beta = \frac{{\overline{NS}}}{{\overline{TN}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle \tan ( \alpha + \beta ) = \frac{\frac{3 \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 - \left( \frac{3 \sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} \right)} = - 4 \sqrt{2}$ $\displaystyle \tan \theta = - \tan ( \alpha + \beta ) = 4 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{\sqrt{33}}{33}$ 따라서 구하는 정사영의 넓이는 $\displaystyle 6 \sqrt{11} \cos \theta = 6 \sqrt{11} \times \frac{\sqrt{33}}{33} = 2 \sqrt{3}$