정사영과 직선-평면 각

삼각형 $\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{PB} \mathit{'}$은 이등변삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{M}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{P}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{PM}}} ^{2}} = \sqrt{5 ^{2} - 4 ^{2}} = 3$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AA} \mathit{'}}} \perp \alpha$, 선분 $\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{M}$은 평면 $\alpha$에 포함되므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AA} \mathit{'}}} \perp {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{M}}}$ $\displaystyle \angle \mathrm{AA} \mathit{'} \mathrm{M} \mathit{=} \frac{\pi}{2}$인 직각삼각형 $\mathrm{AA} \mathit{'} \mathrm{M}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AA} \mathit{'}}} \perp \alpha$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{M}}} \perp {\overline{\mathrm{PB} \mathit{'}}}$이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} \perp {\overline{\mathrm{PB} \mathit{'}}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉠

점 $\mathrm{B}$의 평면 $\mathrm{APB} \mathit{'}$ 위로의 정사영을 점 $\mathrm{H}$라 하면, 선분 $\mathrm{BM}$의 평면 $\mathrm{APB} \mathit{'}$ 위로의 정사영은 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HM}}}$이다. 직각삼각형 $\mathrm{MAB}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} \perp {\overline{\mathrm{AB}}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} \perp \left( \right.$평면 $\left. \mathrm{APB} \mathit{'} \right)$이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}} \perp {\overline{\mathrm{AH}}}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} \perp \left( \right.$평면 $\displaystyle \left. \mathrm{APB} \mathit{'} \right) , {\overline{\mathrm{PB} \mathit{'}}} \perp {\overline{\mathrm{BB} \mathit{'}}}$이므로 삼수선의 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PB} \mathit{'}}} \perp {\overline{\mathrm{HB} \mathit{'}}}$ $\cdots \cdots$ ㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 사각형 $\mathrm{AMB} \mathit{'} \mathrm{H}$가 직사각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{HM}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{AM}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{AM}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{MB} \mathit{'}}} ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{\left( 3 \sqrt{10} \right) ^{2} + 4 ^{2}} = \sqrt{106}$ 두 직선 $\mathrm{AM}$, $\mathrm{HB} \mathit{'}$은 서로 평행하고 두 직선 $\mathrm{AA} \mathit{'}$, $\mathrm{BB} \mathit{'}$은 서로 평행하므로 $\angle \mathrm{MAA} \mathit{'} = \angle \mathrm{BB} \mathit{'} \mathrm{H}$이고 $\tan \left( \right.$$\displaystyle \left. \angle \mathrm{MAA} \mathit{'} \right) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} = \tan \left( \angle \mathrm{BB} \mathit{'} \mathrm{H} \right)$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{HB} \mathit{'}}} \times \tan \left( \angle \mathrm{BB} \mathit{'} \mathrm{H} \right)$ $\displaystyle = 3 \sqrt{10} \times \frac{1}{3} = \sqrt{10}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{BH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{HM}}} ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{10 + 106} = \sqrt{116} = 2 \sqrt{29}$ 직선 $\mathrm{BM}$과 평면 $\mathrm{APB} \mathit{'}$이 이루는 예각의 크기는 $\angle \mathrm{BMH}$와 같으므로 $\theta = \angle \mathrm{BMH}$ $\displaystyle \cos ^{2} \theta = \left( \frac{{\overline{\mathrm{HM}}}}{{\overline{\mathrm{BM}}}} \right) ^{2} = \frac{{\overline{\mathrm{HM}}} ^{2}}{{\overline{\mathrm{BM}}} ^{2}} = \frac{106}{116} = \frac{53}{58}$ $p = 58$, $q = 53$ 따라서 $p + q = 111$