기하공간도형과 공간좌표수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사영 넓이와 각

문제

그림과 같이 평면 $\alpha$ 위에 넓이가 $27$ 인 삼각형 $\mathrm{ABC}$ 가 있고, 평면 $\beta$ 위에 넓이가 $35$ 인 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 가 있다. 선분 $\mathrm{BC}$ 를 $1 : 2$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{P}$ 라 하고 선분 $\mathrm{A} P$ 를 $2 : 1$ 로 내분하는 점을 $\mathrm{Q}$ 라 하자. 점 $\mathrm{D}$ 에서 평면 $\alpha$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$ 라 하면 점 $\mathrm{Q}$ 는 선분 $\mathrm{B} H$ 의 중점이다. 두 평면 $\alpha$ , $\beta$ 가 이루는 각을 $\theta$ 라 할 때, $\displaystyle \cos \theta = \frac{q}{p}$ 이다. $p + q$ 의 값을 구하시오. (단, $p$ 와 $q$ 는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 정사영의 성질을 이용하여 두 평면이 이루는 각을 구한다. 점 $\mathrm{P}$ 가 선분 $\mathrm{BC}$ 를 $1 : 2$ 로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\triangle} ABP = \frac{1}{3} \times \triangle ABC = \frac{1}{3} \times 27$ $= 9$ 점 $\mathrm{Q}$ 가 선분 $\mathrm{AP}$ 를 $2 : 1$ 로 내분하는 점이므로 $\displaystyle \mathrm{\triangle} ABQ = \frac{2}{3} \times \triangle ABP = \frac{2}{3} \times 9$ $= 6$ 점 $\mathrm{Q}$ 가 선분 $\mathrm{BH}$ 의 중점이므로 $\mathrm{\triangle} ABH$ $\mathrm{=} 2 \times \triangle ABQ$ $= 2 \times 6 = 12$ 삼각형 $\mathrm{ABD}$ 의 평면 $\alpha$ 로의 정사영이 삼각형 $\mathrm{ABH}$ 이므로 $\mathrm{\triangle} ABD \times \cos \theta = \mathrm{\triangle} ABH$ 에서 $\displaystyle \mathrm{\cos} \theta = \frac{12}{35}$ 따라서 $p + q = 47$

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