정사영 넓이 최소

[출제의도] 평면의 법선벡터를 이용하여 정사영의 넓이 구하는 문제를 해결한다. 원점 $\mathrm{O}$에서 평면 $\mathrm{P} QR$에 내린 수선의 발은 삼각형 $\mathrm{P} QR$의 무게중심 $\mathrm{G}$와 같으므로 $\vec{\mathrm{O} G}$는 평면 $\mathrm{P} QR$의 법선벡터이다. 또, 면 $\mathrm{P} QR$와 $z$축이 만나는 점을 $\mathrm{A}$라 하면 $\vec{\mathrm{O}} A$는 $xy$평면의 법선벡터이다. 따라서 평면 $\mathrm{P} QR$와 $xy$평면이 이루는 각의 크기 $\theta$는 두 벡터 $\vec{\mathrm{O} G}$, $\vec{\mathrm{O}} A$가 이루는 각의 크기와 같다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} = 1$, $\displaystyle \overline{\mathrm{P} G} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OG}}} = \sqrt{{\overline{\mathrm{OP}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{PG}}} ^{2}} = \sqrt{1 - \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ 삼각형 $\mathrm{O} AG$는 직각삼각형이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} \leq \overline{\mathrm{O} P} = 1$이므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{{\overline{\mathrm{OG}}}}{{\overline{\mathrm{OA}}}}$$\displaystyle \geq \frac{\sqrt{6}}{3}$ 정삼각형 $\mathrm{P} QR$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}$이므로 $\displaystyle S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \cos \theta \geq$$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{6}}{3} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ (단, 등호는 $\displaystyle \overline{\mathrm{O} A} = 1$, 즉 점 $\mathrm{A}$가 세 꼭짓점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$, $\mathrm{R}$ 중 하나일 때 성립한다.) $\displaystyle k = \frac{\sqrt{2}}{4}$이므로 $160 k ^{2} = 20$이다.