정사영 넓이

△PRS의 평면 CGHD 위로의 정사영을$\mathrm{\triangle P' \mathrm{R}' \mathrm{S}'}$이라 하자. P에서 △QRS에 수선 PN를 내리면 △PQN≡△PRN≡△PSN 이므로 점 N은 정삼각형 QRS의 무게중심이다.

직선 QN과 직선 RS의 교점을 M이라 하면 $\displaystyle \overline{R M} = \overline{SM} , \overline{QN} = \overline{NM} = 2 : 1$ ∴$\displaystyle \mathrm{\overline{QM}} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \overline{PM}$ ∴$\displaystyle \mathrm{\overline{NM}} = \frac{1}{3} \overline{QM} = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{6}$ ∴$\displaystyle \mathrm{\overline{PN}} = \sqrt{{\overline{PM}} ^{2} - {\overline{NM}} ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2} - \left( \frac{\sqrt{3}}{6} \right) ^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ∴$\displaystyle \cos \theta \mathrm{=} \frac{\overline{PN}}{\overline{PM}} = \frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ∴$\mathrm{\triangle} P' \mathrm{R}' \mathrm{S}' = \triangle PRS \cdot \cos \theta$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ $\displaystyle = \frac{\sqrt{6}}{6}$