정사영 직선 사잇각

[출제의도] 이해능력-공간도형과 공간벡터 직선 $\displaystyle x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{3} \cdots \text{㉠}$ 위의 임의의 점 $P$의 좌표를 $( x , y , z )$라 하면 점 $P$의 $xy$평면 위로의 정사영의 좌표는 $( x , y , 0 )$이다.

이때 점 $( x , y , z )$는 등식 ㉠을 만족시키므로 점 $( x , y , 0 )$은 등식 $\displaystyle x - 1 = \frac{y}{2}$를 만족시킨다. 따라서 직선 $\displaystyle x - 1 = \frac{y}{2} = \frac{z + 2}{3}$의 $xy$평면 위로의 정사영인 직선 $l _{1}$의 방정식은 $\displaystyle x - 1 = \frac{y}{2} , z = 0 \cdots \text{㉡}$ 마찬가지로 직선 $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{y - 3}{2} = z + 1$의 $xy$평면 위로의 정사영 $l _{2}$의 방정식은 $\displaystyle \frac{x}{3} = \frac{y - 3}{2} , z = 0 \cdots \text{㉢}$ 두 직선 ㉡, ㉢의 방향벡터를 각각 ${\vec{a}} , {\vec{b}}$라 하면 ${\vec{a}} = ( 1 , 2 , 0 ) , {\vec{b}} = ( 3 , 2 , 0 )$ 이므로 $\displaystyle \cos \theta = \frac{\left| {\vec{a}} \bullet {\vec{b}} \right|}{\left| {\vec{a}} \right| \left| {\vec{b}} \right|} = \frac{3 + 4}{\sqrt{5} \sqrt{13}} = \frac{7 \sqrt{65}}{65}$