기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사영 정사각형 길이

문제

그림과 같이 서로 다른 두 평면 α\alpha, β\beta의 교선 위에 점 A\mathrm{A}가 있다. 평면 α\alpha 위의 세 점 B\mathrm{B}, C\mathrm{C}, D\mathrm{D}의 평면 β\beta 위로의 정사영을 각각 B′\mathrm{B}', C′\mathrm{C}', D′\mathrm{D}'이라 할 때, 사각형 AB′C′D′\mathrm{AB}' C' D'은 한 변의 길이가 42\displaystyle 4 \sqrt{2}인 정사각형이고, BB′‾=DD′‾\displaystyle \overline{\mathrm{BB}'} = \overline{\mathrm{DD}'}이다. 두 평면 α\alpha와 β\beta가 이루는 각의 크기를 θ\theta라 할 때, tan⁡θ=34\displaystyle \tan \theta = \frac{3}{4}이다. 선분 BC\mathrm{BC}의 길이는? (단, 선분 BD\mathrm{BD}와 평면 β\beta는 만나지 않는다.) [4점]

①35\displaystyle \sqrt{35}②37\displaystyle \sqrt{37}③39\displaystyle \sqrt{39}④41\displaystyle \sqrt{41}⑤43\displaystyle \sqrt{43}

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④

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해설

아래 그림과 같이 평면 β\beta를 평행이동하여 BD‾\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}를 지나도록 하면

삼각형 BCD의 정사영은 변의 길이가 42\displaystyle 4 \sqrt{2}, 42\displaystyle 4 \sqrt{2}, 88인 직각이등변삼각형이다. 이등변삼각형의 성질과 삼수선의 정리에서 BC‾\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}=25+16=41\displaystyle = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}

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#정사영#삼수선의 정리

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