정사면체 내접원 정사영

두 평면 $OAB , ABC$가 이루는 각을 $\theta$라 하면 $\displaystyle \cos \theta = \frac{\overline{MH}}{\overline{AM}}$$\displaystyle = \frac{\overline{MH}}{\overline{CM}} = \frac{1}{3}$

위의 그림과 같이 $\triangle OAB$에서 어두운 부분을 평면 $ABC$ 위로 정사영시키고, $\triangle OBC$, $\triangle OCA$에서도 같은 방법으로 정사영시키면 이들은 서로 겹치지 않고 $S _{1} , S _{2} , S _{3}$로 둘러싸인 부분과 일치한다. $\triangle OAB$에서 내접원의 반지름의 길이를 $r$라고 하면 $\displaystyle \frac{1}{2} r ( 6 + 6 + 6 ) = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6 ^{2}$ ∴ $\displaystyle r = \sqrt{3}$ 따라서, 어두운 부분의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6 ^{2} - 3 \pi \right) = 3 \sqrt{3} - \pi$이므로 구하는 넓이 $S$는 $\displaystyle S = ( 3 \sqrt{3} - \pi ) \times \cos \theta \times 3$$\displaystyle = ( 3 \sqrt{3} - \pi ) \times \frac{1}{3} \times 3$ $\displaystyle = 3 \sqrt{3} - \pi$ ∴ $\displaystyle ( S + \pi ) ^{2} = ( 3 \sqrt{3} ) ^{2} = 27$