대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사면체 막대 개수

문제

그림과 같이 길이가 같은 막대를 이어 붙여 정사면체 모양의 입체도형 $A _{1}$ , $A _{2}$ , $A _{3}$ , $\cdots$ 을 만든다.

$\cdots$ $\cdots$ $A _{1}$ $A _{2}$ $A _{3}$

입체도형 $A _{n}$ 을 만드는 데 사용된 막대의 개수를 $a _{n}$ 이라 하면, $a _{1} = 6$ , $a _{2} = 15$ , $\cdots$ 이다. 이때, $a _{10}$ 의 값을 구하시오. (단, 그림의 은 막대를 이어 붙인 부분이다.) [4점]

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195

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해설

[출제의도] 계차수열을 이용하여 수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. 막대의 길이를 $1$ 이라 하면, 입체도형 $A _{2}$ 는 $A _{1}$ 에 막대 $3$ 개를 이어 붙이고 밑변에 길이가 $2$ 인 정삼각형을 붙인 것이다. 입체도형 $A _{3}$ 는 $A _{2}$ 에 막대 $3$ 개를 이어 붙이고 밑변에 길이가 $3$ 인 정삼각형을 붙인 것이다. 이와 같은 과정을 반복하면 $A _{n}$ 과 $A _{n+1}$ 에 사용된 각 막대의 개수 $a _{n}$ 과 $a _{n+1}$ 사이에는 $a _{n + 1} = a _{n} + 3 + 3 ( n + 1 )$ $= a _{n} + 3 n + 6$ 인 관계가 성립한다. 따라서 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 의 계차수열의 일반항은 $3 n + 6$ 이다. ∴ $\displaystyle a _{10} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{9} ( 3 k + 6 )$ $\displaystyle = 6 + 3 \cdot \frac{9 \cdot 10}{2} + 6 \cdot 9$ $= 195$

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