기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사면체 정사영 넓이

문제

그림과 같이 한 모서리의 길이가 1212인 정사면체 ABCD\mathrm{ABCD}에서 두 모서리 BD\mathrm{BD}, CD\mathrm{CD}의 중점을 각각 M\mathrm{M}, N\mathrm{N}이라 하자. 사각형 BCNM\mathrm{BCNM}의 평면 AMN\mathrm{AMN} 위로의 정사영의 넓이는? [4점]

①151111\displaystyle \frac{15 \sqrt{11}}{11}②181111\displaystyle \frac{18 \sqrt{11}}{11}③211111\displaystyle \frac{21 \sqrt{11}}{11}④241111\displaystyle \frac{24 \sqrt{11}}{11}⑤271111\displaystyle \frac{27 \sqrt{11}}{11}

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⑤

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해설

MNMN의 중점을 H,H ,△BCD\triangle BCD의 무게중심을 GG라 하고 △AMN\triangle AMN과 □BCMN\square BCMN이 이루는 각=∠AHG=θ= \angle AHG = \theta라 하면 AH=311,GH=3\displaystyle AH = 3 \sqrt{11} , GH = \sqrt{3}, cos⁡θ=GHAH=3333\displaystyle \cos \theta = \frac{GH}{AH} = \frac{\sqrt{33}}{33} □BCMN\square BCMN 의 넓이=34×△BCD=(34×34×122)=273\displaystyle = \frac{3}{4} \times \triangle BCD = ( \frac{3}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12 ^{2} ) = 27 \sqrt{3} 정사영의 넓이=273×3333=271111\displaystyle = 27 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{33}}{33} = \frac{27 \sqrt{11}}{11}

태그

#정사영#이면각#정사면체

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