정사면체 정사영 넓이

[출제의도] 정사영의 성질을 이용하여 공간도형 문제를 해결한다.

[그림 1]과 같이 네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{D}$가 한 평면에 있도록 전개하면 조건을 만족하는 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AC}$와 선분 $\mathrm{MN}$이 만나는 점이다. 사각형 $\mathrm{ABCD}$는 평행사변형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} / / \overline{CD}$이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{AMP}$와 삼각형 $\mathrm{CNP}$는 닮음이고 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \frac{1}{2}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CN}}} = \frac{3}{4}$이므로 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AC}$를 $2 : 3$으로 내분하는 점이다. 같은 방법으로 [그림 2]에서 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{AD}$를 $2 : 1$로 내분하는 점임을 알 수 있다.

네 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{M}$, $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$의 평면 $\mathrm{BCD}$ 위로의 정사영을 각각 $\mathrm{A}'$, $\mathrm{M}'$, $\mathrm{P}'$, $\mathrm{Q}'$이라 하면 점 $\mathrm{M}'$은 선분 $\mathrm{A}' B$의 중점이고, 점 $\mathrm{P}'$은 선분 $\mathrm{A}' C$를 $2 : 3$으로 내분하는 점이고, 점 $\mathrm{Q}'$은 선분 $\mathrm{A}' D$를 $2 : 1$로 내분하는 점이다. 이때 점 $\mathrm{A}'$은 정삼각형 $\mathrm{BCD}$의 무게중심이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{A' B}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{A}' C}} = {\overline{\mathrm{A}' D}}$$\displaystyle = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \times {\overline{\mathrm{BC}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 이고, $\displaystyle \mathrm{\overline{A' M'}} = \frac{1}{2} {\overline{A' B}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{A' P'}} = \frac{2}{5} {\overline{A' C}} = \frac{2 \sqrt{3}}{15}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{A' Q'}} = \frac{2}{3} {\overline{A' D}} = \frac{2 \sqrt{3}}{9}$ 삼각형 $\mathrm{M}' P' Q'$의 넓이 $S$는 세 삼각형 $\mathrm{A}' M' P'$, $\mathrm{A}' P' Q'$, $\mathrm{A}' Q' M'$의 넓이의 합이므로 $\displaystyle S = \frac{1}{2} \times \sin \frac{2}{3} \pi \times \left( \frac{\mathrm{\sqrt{3}}}{6} \times \frac{2 \sqrt{3}}{15} \right. +$ $\displaystyle \left. \frac{2 \sqrt{3}}{15} \times \frac{2 \sqrt{3}}{9} + \frac{2 \sqrt{3}}{9} \times \frac{\sqrt{3}}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{15}$