정사면체 이면각

[출제의도] 정사영의 성질 이해하기

정사면체 $\mathrm{ABCD}$의 모서리의 길이를 $4 a$라 하면, 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{BP}} = \sqrt{( 4 a ) ^{2} + a ^{2} - 4 a ^{2}} = \sqrt{13} a$ 삼각형 $\mathrm{ABP}$의 넓이는 $6 a ^{2}$ 이다. 점 $\mathrm{A}$에서 삼각형 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{G}$라 하면, 점 $\mathrm{G}$는 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 무게중심이다. 삼각형 $\mathrm{BGP}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{BCD}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{1}{6}$이므로 삼각형 $\mathrm{BGP}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3} a ^{2}$ $\displaystyle 6 a ^{2} \cos \theta = \frac{2 \sqrt{3}}{3} a ^{2}$ $\displaystyle \therefore \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{9}$