정사면체 공유면 벡터

$\mathrm{O} , C , C'$를 지나는 평면으로 자른 단면도는 다음과 같다.

$\mathrm{C}$($\mathrm{C}'$)에서 $\triangle \mathrm{OAB}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{G}$라 하면 $\mathrm{G}$는 $\triangle \mathrm{OAB}$의 무게중심과 일치한다. $\displaystyle \mathrm{\therefore} \vec{OG} = \frac{\vec{OC'} + \vec{OC}}{2}$이므로 $\mathrm{\vec{OC'}} = 2 \vec{OG} - \vec{OC}$ 이 때, $\displaystyle \mathrm{\vec{OG}} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB}}{3}$($\because \mathrm{G}$가 무게중심) $\displaystyle \therefore {\mathrm{\vec{OC}}' = \frac{2}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OB} - \vec{OC} =} p {\mathrm{\vec{OA}}} + q {\mathrm{\vec{OB}}} + r {\mathrm{\vec{OC}}}$ $\displaystyle \therefore p = \frac{2}{3} , q = \frac{2}{3} , r = - 1$이므로 $\displaystyle p + q + r = \frac{1}{3}$ [다른 풀이] 좌표로 해결하는 방법 $\mathrm{O} ( 0 , 0 , 0 ) A ( 0 , 1 , 1 ) B ( 1 , 1 , 0 ) C ( 1 , 0 , 1 ) C' \mathit{(} a , b , c )$라 두면 $a ^{2} + b ^{2} + c ^{2} = 2 , a ^{2} + ( b - 1 ) ^{2} + ( c - 1 ) ^{2} = 2 ,$ $( a - 1 ) ^{2} + ( b - 1 ) ^{2} + c ^{2} = 2$ 이 식을 연립해서 풀면 $\displaystyle \mathrm{C}' \left( - \frac{1}{3} , \frac{4}{3} , - \frac{1}{3} \right)$ $\displaystyle \therefore \begin{cases} p + q = \frac{4}{3} \\ q + r = - \frac{1}{3} \\ r + p = - \frac{1}{3} \end{cases}$ $\rightarrow$ $\displaystyle 2 ( p + q + r ) = \frac{2}{3}$ $\displaystyle \therefore p + q + r = \frac{1}{3}$