정사면체 두 평면의 각

정사면체의 모서리$\mathrm{OA}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{S}$라 하면 $\triangle \mathrm{ABC}$와 $\triangle \mathrm{SQR}$는 평행하므로 $\theta$는$\mathrm{\triangle} PQR$와$\mathrm{\triangle} SQR$가 이루는 각의 크기와 같다. 정사면체 $\mathrm{OSQR}$에서 점 $\mathrm{P}$는$\displaystyle \mathrm{\overline{OS}}$의 중점이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OS}} \perp \mathrm{\overline{QP}}$이고,$\displaystyle \mathrm{\overline{QR}}$의 중점을 $\mathrm{T}$라 하면 $\mathrm{\triangle} PST$는 직각삼각형이다. $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{ST}} {\mathrm{\cos}} \mathit{\theta} = {\overline{PT}}$

$\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \mathit{3} a$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{SQ}} = \mathit{2} a$, $\displaystyle \mathrm{\overline{PS}} = \mathit{a}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{QT}} = \mathit{a}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{ST}} = \sqrt{{\overline{SQ}} ^{2} - {\overline{QT}} ^{2}} = \mathit{\sqrt{4 a ^{2} - a ^{2}}} = \sqrt{3} a$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PT}} = \sqrt{{\overline{ST}} ^{2} - {\overline{PS}} ^{2}} = \mathit{\sqrt{3 a ^{2} - a ^{2}}} = \sqrt{2} a$ $\displaystyle \therefore \mathrm{\cos} \theta = \frac{{\overline{PT}}}{{\overline{ST}}} \frac{= \mathit{\sqrt{2} a}}{\sqrt{3} a} = \frac{\sqrt{6}}{3}$