정삼각형과 반원 도형 급수

[출제의도] 발견적 추론능력(추측)-수열의 극한 정삼각형 $A _{n} B _{n} C _{n}$의 한 변의 길이를 $a _{n}$, 점 $M _{n}$을 중심으로 하는 반원의 반지름의 길이를 $r _{n}$이라 하자.

직각삼각형 $M _{n} C _{n} E _{n}$에서 $\displaystyle r _{n} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times {\overline{M _{n} C _{n}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{a _{n}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a _{n} \cdots$㉠ 한편, $\displaystyle {\overline{A _{n + 1} E _{n}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} r _{n}$이고, $\angle E _{n} C _{n + 1} A _{n + 1} = 90 ^\circ$, $\angle C _{n + 1} E _{n} A _{n + 1} = 30 ^\circ$이므로 $\displaystyle a _{n + 1} = {\overline{A _{n + 1} C _{n + 1}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{A _{n + 1} E _{n}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} r _{n} = \frac{\sqrt{3}}{4} r _{n}$ $\cdots$㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle r _{n + 1} = \frac{\sqrt{3}}{4} a _{n + 1} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4} r _{n} = \frac{3}{16} r _{n}$ $a _{1} = 2$이므로 $\displaystyle r _{1} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle \therefore l _{1} = \frac{1}{2} \times 2 \pi r _{1} = \frac{\sqrt{3}}{2} \pi$ 이때 $l _{n}$은 첫째항이 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} \pi$, 공비가 $\displaystyle \frac{3}{16}$인 등비수열의 첫째항부터 제$n$항까지의 합과 같으므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} l _{n} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \pi}{1 - \frac{3}{16}} = \frac{8 \sqrt{3}}{13} \pi$