미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정삼각형과 반원 도형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 44 인 정삼각형 A1B1C1{\mathrm{A}} _{1} {\mathrm{B}} _{1} {\mathrm{C}} _{1}이 있다. 세 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}, C1A1\mathrm{C} _{1} A _{1}, A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}의 중점을 각각 A2\mathrm{A} \mathit{_{2}}, B2{\mathrm{B}} _{2}, C2{\mathrm{C}} _{2}라 하자. 선분 C1C2{\mathrm{C}} _{1} {\mathrm{C}} _{2}를 지름으로 하는 반원의 호와 선분 B2A2{\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{A}} _{2}의 연장선이 만나는 점을 P1{\mathrm{P}} _{1}, 선분 B1B2{\mathrm{B}} _{1} {\mathrm{B}} _{2}를 지름으로 하는 반원의 호와 선분 C2A2{\mathrm{C}} _{2} {\mathrm{A}} _{2}의 연장선이 만나는 점을 Q1\mathrm{Q} \mathit{\mathrm{_{1}}}이라 하자. 두 선분 C2A2{\mathrm{C}} _{2{\mathrm{A}}_{2}}, A2P1{\mathrm{A}} _{2} {\mathrm{P}} _{1}과 호 P1C2{\mathrm{P}} _{1} {\mathrm{C}} _{2}로 둘러싸인 영역과 두 선분 B2A2{\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{A}} _{2}, A2Q1{\mathrm{A}} _{2} {\mathrm{Q}} _{1}과 호 Q1B2{\mathrm{Q}} _{1} {\mathrm{B}} _{2}로 둘러싸인 영역에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 정삼각형 A2B2C2{\mathrm{A}} _{2} {\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{C}} _{2}의 세 변 B2C2{\mathrm{B}} _{2} {\mathrm{C}} _{2}, C2A2\mathrm{C} _{2\mathrm{A}} \mathit{_{2}}, A2B2{\mathrm{A}} _{2} {\mathrm{B}} _{2}의 중점을 각각 A3\mathrm{A} \mathit{_{3}}, B3\mathrm{B} \mathit{_{3}}, C3\mathrm{C} \mathit{_{3}}이라 하자. 선분 C2C3\mathrm{C} \mathit{_{2}} \mathrm{C} \mathit{_{3}}을 지름으로 하는 반원의 호와 선분 B3A3\mathrm{B} \mathit{_{3}} \mathrm{A} \mathit{_{3}}의 연장선이 만나는 점을 P2\mathrm{P} \mathit{_{2}}, 선분 B2B3\mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{2}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{3}}}을 지름으로 하는 반원의 호와 선분 C3A3\mathrm{C} \mathit{_{3}} \mathrm{A} \mathit{_{3}}의 연장선이 만나는 점을 Q2\mathrm{Q} \mathit{\mathrm{_{2}}}라 하자. 두 선분 C3A3\mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{3}}} \mathrm{A} \mathit{\mathrm{_{3}}}, A3P2\mathrm{A} \mathit{_{3}} \mathrm{P} \mathit{_{2}}와 호 P2C3\mathrm{P} \mathit{_{2}} \mathrm{C} \mathit{_{3}}으로 둘러싸인 영역과 두 선분 B3A3\mathrm{B} \mathit{_{3}} \mathrm{A} \mathit{_{3}}, A3Q2\mathrm{A} \mathit{_{3}} \mathrm{Q} \mathit{_{2}}와 호 Q2B3\mathrm{Q} \mathit{_{2}} \mathrm{B} \mathit{_{3}}으로 둘러싸인 영역에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

B1\mathrm{B} _{1} C1\mathrm{C} _{1} A2\mathrm{A} _{2} B2\mathrm{B} _{2} C2\mathrm{C} _{2} P1\mathrm{P} _{1} Q1\mathrm{Q} _{1} A1\mathrm{A} _{1}A2\mathrm{A} _{2} B2\mathrm{B} _{2} C2\mathrm{C} _{2} A3\mathrm{A} _{3} B3\mathrm{B} _{3} C3\mathrm{C} _{3} P2\mathrm{P} _{2} Q2\mathrm{Q} _{2} B1\mathrm{B} _{1} C1\mathrm{C} _{1} P1\mathrm{P} _{1} Q1\mathrm{Q} _{1} A1\mathrm{A} _{1}
R1R _{1}R2R _{2}
⋯\mathbf{\cdots}
R3R _{3} ⋯\mathbf{\cdots}

①6π−433\displaystyle \frac{6 \pi - 4 \sqrt{3}}{3}②6π−233\displaystyle \frac{6 \pi - 2 \sqrt{3}}{3}③6π−33\displaystyle \frac{6 \pi - \sqrt{3}}{3}④8π−433\displaystyle \frac{8 \pi - 4 \sqrt{3}}{3}⑤8π−233\displaystyle \frac{8 \pi - 2 \sqrt{3}}{3}

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①

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해설

[출제의도] 등비급수를 활용하여 추론하기 S1=2×S _{1} = 2 \times{(부채꼴 C3C2P1\mathrm{C} _{3} C _{2} P _{1}의 넓이)-(직각삼각형 C3C2A2\mathrm{C} _{3} C _{2} A _{2}의 넓이)} =2×(3π4−32)=3π−232\displaystyle = 2 \times \left( \frac{3 \pi}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{{3 \pi} - 2 \sqrt{3}}{2} 정삼각형 AnBnCn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}의 한 변의 길이를 ana _{n}이라 하면 삼각형의 중점연결 정리에 의해 an+1=12an\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{2} a _{n}이므로 그림 RnR _{n}에 새로 색칠된 부분의 넓이를 bnb _{n}이라 하면 bn+1=14bn\displaystyle b _{n+1} = \frac{1}{4} b _{n}, b1=S1b _{1} = S _{1} 수열 {bn}\left\{ b _{n} \right\}은 첫째항이 3π−232\displaystyle \frac{{3 \pi} - 2 \sqrt{3}}{2}이고 공비가 14\displaystyle \frac{1}{4}인 등비수열이다. lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑k=1nbk\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n} b _{k}}=3π−2321−14=6π−433\displaystyle = \frac{\frac{3 \pi - 2 \sqrt{3}}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{6 \pi - 4 \sqrt{3}}{3}

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