대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정삼각형 타일 넓이

문제

그림과 같이 넓이가 $1$ 인 정삼각형 모양의 타일을 다음과 같은 규칙으로 붙인다.

[ $1$ 단계] : 정삼각형 모양의 타일을 한 개 붙인다. [ $n$ 단계] : $n - 1$ 단계에서 붙여진 타일의 바깥쪽 테두리의 각 변에 정삼각형 모양의 타일을 붙인다.

이와 같이 $10$ 단계를 시행했을 때, 타일로 덮인 부분의 전체의 넓이를 구하시오. [3점] $1$ 단계 $2$ 단계 $3$ 단계

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136

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$1$ 단계의 타일로 덮인 넓이 $a _{1} = 1$ $2$ 단계의 타일로 덮인 넓이 $a _{2} = 4$ $3$ 단계의 타일로 덮인 넓이 $a _{3} = 10$ $\vdots$ $n$ 단계의 타일로 덮인 넓이 $\displaystyle a _{n} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 3 k$ $\displaystyle = \frac{3}{2} n ( n - 1 ) + 1$ $10$ 단계의 타일로 덮인 넓이 $a _{10} = 136$

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