대수수열의 합수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

정삼각형 수 배열

문제

자연수가 적혀있는 크기가 같은 정삼각형들이 있다. 이 정삼각형들을 그림과 같이 붙여 만들어진 정육각형 모양의 도형을 $A _{1}$ 이라 하고 어두운 정삼각형에 적혀있는 수를 $a _{1}$ 이라 하자.

A _{1}

도형 $A _{1}$ 에 정삼각형들을 그림과 같이 붙여 만들어진 정육각형 모양의 도형을 $A _{2}$ 라 하고 어두운 정삼각형에 적혀있는 수를 $a _{2}$ 라 하자.

A _{2}

도형 $A _{2}$ 에 정삼각형들을 그림과 같이 붙여 만들어진 정육각형 모양의 도형을 $A _{3}$ 이라 하고 어두운 정삼각형에 적혀있는 수를 $a _{3}$ 이라 하자.

A _{3}

이와 같은 과정을 계속하여 $n$ 번째 만들어진 도형 $A _{n}$ 에서 어두운 정삼각형에 적혀있는 수를 $a _{n}$ 이라 할 때, $a _{10}$ 의 값은? [4점] ① $465$ ② $475$ ③ $485$ ④ $495$ ⑤ $505$

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⑤

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해설

[출제의도] 계차수열을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 $a _{1} = 1$ $a _{2} - a _{1} = 8 = 6 \times 1 + 2$ $a _{3} - a _{2} = 20 = 6 \times 3 + 2$ $a _{4} - a _{3} = 32 = 6 \times 5 + 2$ $\vdots$ $a _{n + 1} - a _{n} = 6 \times \left( 2 n - 1 \right) + 2 = 12 n - 4$ $\displaystyle a _{n} = a _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( 12 k - 4 \right)$ $= 6 n ^{2} - 10 n + 5$ 따라서 $a _{10} = 505$

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