미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정삼각형 속 원 넓이 극한

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정삼각형의 내부에 크기가 같은 원들이 첫째 행부터 차례로 한 개, 두 개, 세 개, ⋯\cdots, nn개가 배열되어 있다. 이 원들은 서로 외접하고, 가장자리의 원들은 삼각형의 각 변에 접한다. 자연수 nn의 값이 한없이 커질 때, 이 원들의 넓이의 합은 어떤 값에 한없이 가까워지는가? [4점]

①2\displaystyle {\sqrt{2}}②32\displaystyle \frac{3}{2}③π3\displaystyle \frac{\pi}{3}④25π\displaystyle \frac{2}{5} \pi⑤π2\displaystyle \frac{\pi}{2}

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⑤

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해설

한 원의 반지름의 길이를 rnr _{n}이라 하면 2(n−1)rn+23rn=2\displaystyle 2 ( n - 1 ) r _{n} + 2 \sqrt{3} r _{n} = 2 ∴ rn=1(n−1)+3\displaystyle r _{n} = \frac{1}{( n - 1 ) + \sqrt{3}} 또, 원의 총 개수는 1+2+3+⋯+n=n(n+1)2\displaystyle 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}이므로 원의 총 넓이는 Sn=n(n+1)2⋅(πrn2)\displaystyle S _{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2} \cdot ( \pi r _{n} ^{2} )=n(n+1)π2((n−1)+3)2\displaystyle = \frac{n ( n + 1 ) \pi}{2 ( ( n - 1 ) + \sqrt{3} ) ^{2}} ∴ lim⁡n→∞Sn=π2lim⁡n→∞1⋅(1+1n)(1+−1+3n)2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{\pi}{2} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1 \cdot \left( 1 + \frac{1}{n} \right)}{\left( 1 + \frac{- 1 + \sqrt{3}}{n} \right) ^{2}}}=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2}

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