공통수학1이차방정식과 이차함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정삼각형 속 직사각형

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 2020인 정삼각형 ABC\mathrm{ABC}에 대하여 변 AB\mathrm{AB} 위의 점 D\mathrm{D}, 변 AC\mathrm{AC} 위의 점 G\mathrm{G}, 변 BC\mathrm{BC} 위의 두 점 E\mathrm{E}, F\mathrm{F}를 꼭짓점으로 하는 직사각형 DEFG\mathrm{DEFG}가 있다. 직사각형 DEFG\mathrm{DEFG}의 넓이가 최대일 때, 삼각형 DBE\mathrm{DBE}에 내접하는 원의 둘레의 길이는 (p3+q)π\displaystyle \left( p \sqrt{3} + q \right) \pi이다. p2+q2p ^{2} + q ^{2}의 값은? (단, pp, qq는 유리수이다.) [4점]

①1010②2020③3030④4040⑤5050

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⑤

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해설

[출제의도] 이차함수의 최댓값 이해하기

점 A\mathrm{A}에서 선분 DG\mathrm{DG}, 선분 BC\mathrm{BC}에 내린 수선의 발을 각각 H\mathrm{H}, I\mathrm{I}라 하고, 원과 선분 BC\mathrm{BC}와의 교점을 J\mathrm{J}라 하자. 선분 DH\mathrm{DH}의 길이를 aa(0<a<100 < a < 10)라 하면 선분 AH\mathrm{AH}의 길이는 3a\displaystyle \sqrt{3} a이고 선분 DE\mathrm{DE}의 길이는 103−3a\displaystyle 10 \sqrt{3} - \sqrt{3} a이다. 직사각형 DEFG\mathrm{DEFG}의 넓이를 SS라 하면 S=2a(103−3a)=−23(a−5)2+503\displaystyle S = 2 a \left( 10 \sqrt{3} - \sqrt{3} a \right) = \mathit{-} 2 \sqrt{3} \left( a - 5 \right) ^{2} + 50 \sqrt{3} 따라서 a=5a = 5일 때 직사각형 DEFG\mathrm{DEFG}의 넓이는 최대이다. 원의 반지름의 길이를 bb라 하면 EI‾=a\displaystyle \mathrm{\overline{EI}} = \mathit{a}, JE‾=b\displaystyle \mathrm{\overline{JE}} = \mathit{b}, BJ‾=3b\displaystyle \mathrm{\overline{BJ}} = \mathit{\sqrt{3}} b이므로 a+(1+3)b=10\displaystyle a + \left( 1 + \sqrt{3} \right) b = 10이다. a=5a = 5일 때 b=5(3−1)2\displaystyle b = \frac{5 \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{2}이므로 원의 둘레는 5(3−1)π\displaystyle 5 \left( \sqrt{3} - 1 \right) \pi이다. pp, qq는 유리수이므로 p=5p = 5, q=−5q = \mathit{-} 5이고 p2+q2=50p ^{2} + q ^{2} = 50이다.

태그

#이차함수 최대#내접원

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