정삼각형 정사영

정삼각형의 한 변의 길이를 $x$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}' = \sqrt{5}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{BAB}'$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BB}}' = \mathit{\sqrt{x ^{2} - 5}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{C}}' A$$\displaystyle = \sqrt{3}$이므로 직각삼각형 $\mathrm{CAC}'$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CC}}'$$\displaystyle = \sqrt{x ^{2} - 3}$ 점 $\mathrm{B}$에서 선분 $\mathrm{CC}'$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 할 때, $\displaystyle \mathrm{\overline{BH}} = \overline{B}' C' = 2$이므로 직각삼각형 $\mathrm{CBH}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{CH}}$$\displaystyle = \sqrt{x ^{2} - 4}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CC}}' = \overline{CH} + \overline{HC}'$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{HC}} = \overline{BB}'$이므로 $\displaystyle \sqrt{x ^{2} - 3}$$\displaystyle = \mathit{\sqrt{x ^{2} - 5}} + \sqrt{x ^{2} - 4}$ $\displaystyle \sqrt{x ^{2} - 4} = t$($\geq 0$)이라 하면 $\displaystyle \sqrt{t ^{2} + 1} = \sqrt{t ^{2} - 1} + t$ $\displaystyle \sqrt{t ^{2} + 1} - \sqrt{t ^{2} - 1} = t$ 위 식의 양변을 제곱하면 $\displaystyle 2 t ^{2} - 2 \sqrt{t ^{4} - 1} = t ^{2}$ $\displaystyle t ^{2} = 2 \sqrt{t ^{4} - 1}$ 위 식의 양변을 제곱하면 $t ^{4} = 4 t ^{4} - 4$ ∴ $\displaystyle t ^{4} = \frac{4}{3}$ ∴ $\displaystyle t ^{2} = x ^{2} - 4 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ∴ $\displaystyle x ^{2} = \frac{2 + 4 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 따라서 구하는 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} x ^{2} = \frac{1 + 2 \sqrt{3}}{2}$