정삼각형 점 극한

아래 그림과 같이 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{A} _{0} ( 10 , 0 )$에 대하여 제 1 사분면 위에 $\displaystyle \overline{\mathrm{O}} A _{0}$를 한 변으로 하는 정삼각형 $\mathrm{O} \mathrm{A} _{0} \mathrm{A} _{1}$을 만들고 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{0} \mathrm{A} _{1}}$을 $1 : 2$로 내분하는 점을 $\mathrm{B} _{1}$이라 한다. 또 $\triangle \mathrm{O} A _{0} \mathrm{A} _{1}$밖에 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} \mathrm{B} _{1}}$을 한 변으로 하는 정삼각형 $\mathrm{A} _{1} \mathrm{B} _{1} \mathrm{A} _{2}$를 만들고 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} A _{2}}}$를 $1 : 2$로 내분하는 점을 $\mathrm{B} _{2}$라 한다. 이와 같은 과정을 한없이 반복하면 점 $\mathrm{A} _{n}$은 점 $( a , b )$에 한없이 가까워진다. 이때 $a$의 값을 구하시오. [4점]