정삼각형 부채꼴 급수

한 변의 길이가 $6$인 정삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{1} B _{1}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} C _{1}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} A _{1}}}$을 $1 : 5$로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{A} _{2}$, $\mathrm{B} _{2}$, $\mathrm{C} _{2}$라 하고 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} A _{2}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} B _{2}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} C _{2}}}$를 각각 반지름으로 하는 부채꼴을 그림과 같이 그리고 삼각형 $\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}$에 그려진 세 개의 부채꼴의 넓이의 합을 $S _{1}$이라 하자. 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} B _{2}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{2} C _{2}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{2} A _{2}}}$를 $1 : 5$로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{A} _{3}$, $\mathrm{B} _{3}$, $\mathrm{C} _{3}$이라 하고 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{2} A _{3}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{2} B _{3}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{2} C _{3}}}$을 각각 반지름으로 하는 부채꼴을 그림과 같이 그리고 삼각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}$에 그려진 세 개의 부채꼴의 넓이의 합을 $S _{2}$라 하자. 삼각형 $\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{3} B _{3}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{3} C _{3}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{3} A _{3}}}$을 $1 : 5$로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{A} _{4}$, $\mathrm{B} _{4}$, $\mathrm{C} _{4}$라 하고 $\displaystyle \mathrm{\overline{A _{3} A _{4}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{B _{3} B _{4}}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{C _{3} C _{4}}}$를 각각 반지름으로 하는 부채꼴을 그림과 같이 그리고 삼각형 $\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3}$에 그려진 세 개의 부채꼴의 넓이의 합을 $S _{3}$이라 하자. 이와 같은 방법으로 계속하여 삼각형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}$에 그려진 세 개의 부채꼴의 넓이의 합을 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{p}{q} \pi$이다. $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p$, $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]