정삼각형 벡터 크기

[출제의도] 수학내적 문제해결능력-평면벡터 ${\vec{AB}} = {\vec{a}}$, ${\vec{AC}} = {\vec{b}}$라 하면 점 $D$는 선분 $AB$를 2:1로 내분하는 점이므로 $\displaystyle {\vec{AD}} = \frac{2}{3} {\vec{a}}$ 점 $E$는 선분 $DC$의 중점이므로 $\displaystyle {\vec{AE}} = \frac{{\vec{AD}} + {\vec{AC}}}{2} = \frac{\frac{2}{3} {\vec{a}} + {\vec{b}}}{2} = \frac{1}{3} {\vec{a}} + \frac{1}{2} {\vec{b}}$ ${\vec{AF}} = t {\vec{b}} ( 0 < t < 1 )$이라 하면 세 점 $B , E , F$는 한 직선 위에 있으므로 ${\vec{AE}} = ( 1 - s ) {\vec{a}} + s ( t {\vec{b}} ) = ( 1 - s ) {\vec{a}} + st {\vec{b}}$를 만족시키는 실수 $s ( 0 < s < 1 )$이 존재한다.

$\displaystyle \frac{1}{3} {\vec{a}} + \frac{1}{2} {\vec{b}} = ( 1 - s ) {\vec{a}} + st {\vec{b}}$에서 $\displaystyle \frac{1}{3} = 1 - s , \frac{1}{2} = st$이므로 $\displaystyle s = \frac{2}{3} , t = \frac{3}{4}$ 따라서 $\displaystyle \left| {\vec{AD}} \right| = \frac{2}{3} \times 12 = 8$, $\displaystyle \left| {\vec{AF}} \right| = \frac{3}{4} \times 12 = 9$ 점 $D$에서 선분 $AF$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\displaystyle {\overline{DH}} = 8 \sin \frac{\pi}{3} = 4 \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{AH}} = 8 \cos \frac{\pi}{3} = 4$이므로 $\displaystyle {\overline{HF}} = {\overline{AF}} - {\overline{AH}} = 9 - 4 = 5$ 따라서 $\displaystyle \left| {\vec{ED}} - {\vec{EF}} \right| = \left| {\vec{FD}} \right| = {\overline{FD}} = \sqrt{{\overline{DH}} ^{2} + {\overline{HF}} ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{( 4 \sqrt{3} ) ^{2} + 5 ^{2}} = \sqrt{73}$