정사각뿔과 정사면체 이면각

[그림1] [그림2] 모서리의 길이를 $a$라 하고, ㄱ) [그림1]에서 $OBC$와 $BCE$가 이루는 각을 $\alpha$라 하면 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} a ^{2} \times \cos \alpha = \frac{1}{4} a ^{2}$, $\displaystyle \therefore \cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}} , \sin \alpha = \sqrt{\frac{2}{3}}$ ㄴ) [그림2]에서 $OAB$와 $DAB$가 이루는 각을 $\beta$라 하면 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} a ^{2} \times \cos \beta = \frac{\sqrt{3}}{4} a ^{2} \times \frac{1}{3}$, $\displaystyle \therefore \cos \beta = \frac{1}{3} , \sin \beta = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ㄱ),ㄴ)에서 $\displaystyle \cos \theta = \cos \left( \pi - \alpha - \beta \right) = - ( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ $\displaystyle \therefore \cos ^{2} \theta = \frac{1}{3}$