기하공간도형과 공간좌표수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각뿔 정사영

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 44인 정사각형을 밑면으로 하고 OA‾=OB‾=OC‾=OD‾=25\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OB}}} = {\overline{\mathrm{OC}}} = {\overline{\mathrm{OD}}} = 2 \sqrt{5}인 정사각뿔 O−ABCD\mathrm{O} - ABCD가 있다. 두 선분 OA\mathrm{OA}, AB\mathrm{AB}의 중점을 각각 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}라 할 때, 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}의 평면 OCD\mathrm{OCD} 위로의 정사영의 넓이는? [4점]

①12\displaystyle \frac{1}{2}②34\displaystyle \frac{3}{4}③11④54\displaystyle \frac{5}{4}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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③

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해설

[출제의도] 정사영 이해하기 선분 CD\mathrm{CD}의 중점을 R\mathrm{R}라 하자.

두 평면 OAB\mathrm{OAB}, OCD\mathrm{OCD}가 이루는 예각 θ\theta는 θ=∠QOR\theta = \mathrm{\angle} QOR이다. OQ‾=OR‾=QR‾=4\displaystyle {\overline{\mathrm{OQ}}} = {\overline{\mathrm{OR}}} = {\overline{\mathrm{QR}}} = 4이므로 삼각형 QOR\mathrm{QOR}는 정삼각형이다. 그러므로 cos⁡θ=12\displaystyle \cos \theta = \frac{1}{2} 점 P\mathrm{P}는 선분 OA\mathrm{OA}의 중점이므로 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}의 넓이를 SS라 하면 S=S =12×\displaystyle \frac{1}{2} \times(삼각형 OAQ\mathrm{OAQ}의 넓이)=12×4=2\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 = 2 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}의 평면 OCD\mathrm{OCD} 위로의 정사영의 넓이를 S′S'라 하면 S′=Scos⁡θ=2×12=1\displaystyle S' = S \cos \theta = 2 \times \frac{1}{2} = 1

태그

#정사영#이면각

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