정사각뿔 이면각

아래 그림과 같은 모든 모서리의 길이가 $6$인 정사각뿔 ${\mathrm{A}} - {\mathrm{BCDE}}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AG}} = 2$, $\angle \mathrm{BAD} = 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FG}} = 2 \sqrt{2}$ 세 모서리 $\mathrm{AD}$, $\mathrm{AE}$, $\mathrm{AB}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 각각 $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$, $\mathrm{K}$라 하면 한 변의 길이가 $4$인 두 정삼각형 $\mathrm{AKH}$, $\mathrm{AHI}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{FH}} = \overline{GH} = 2 \sqrt{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{FHG}$는 이등변삼각형이다. 이때 점 $\mathrm{H}$에서 선분 $\mathrm{FG}$까지의 거리는 $\displaystyle \sqrt{\mathrm{\overline{FH}} \mathit{^{2}} - \left( \frac{\mathrm{\overline{FG}}}{2} \right) ^{2}}$이므로 $\displaystyle \sqrt{\left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} - \left( \sqrt{2} \right) ^{2}} = \sqrt{10}$ $\therefore$ $\mathrm{\triangle} FGH$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \sqrt{10}$$\displaystyle = 2 \sqrt{5}$

이때 점 $\mathrm{H}$, $\mathrm{I}$, $\mathrm{J}$, $\mathrm{K}$는 각 모서리를 점 $\mathrm{A}$에서 $2 : 1$인 내분점이므로 평면 $\mathrm{HIJK}$와 밑면 $\mathrm{BCDE}$는 평행하다. 따라서 평면 $\mathrm{FGH}$와 밑면 $\mathrm{BCDE}$가 이루는 각의 크기는 삼각형 $\mathrm{FGH}$의 평면 $\mathrm{HIJK}$가 이루는 각의 크기와 같다.

삼각형 $\mathrm{FGH}$의 평면 $\mathrm{HIJK}$로의 정사영을 삼각형 $\mathrm{F}' G' H$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{F}}' G' = \overline{FG}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2}$ $\mathrm{\triangle} F' G' H$$\displaystyle \frac{= \mathrm{1}}{2} \times \overline{F}' G' \times \left( \frac{1}{2} \overline{JH} \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times \left( \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{2} \right)$ $= 4$ $\therefore$ $\cos \theta$$\displaystyle = \frac{4}{2 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ [다른 풀이]

두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{AD}$를 $1 : 2$로 내분하는 점이 각각 $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}} = \overline{AG} = 2$ 삼각형 $\mathrm{AFG}$에서 $\angle \mathrm{FAG} = 90 ^\circ$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FG}} = \sqrt{2 ^{2} + 2 ^{2}} = 2 \sqrt{2}$ 선분 $\mathrm{AC}$를 $2 : 1$로 내분하는 점이 $\mathrm{H}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = 4$ 선분 $\mathrm{AH}$의 중점을 $\mathrm{P}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = 2$ 두 평면 $\mathrm{FGP}$와 $\mathrm{BCDE}$는 서로 평행하므로 두 평면 $\mathrm{FHG}$와 $\mathrm{BCDE}$가 이루는 예각의 크기는 두 평면 $\mathrm{FHG}$와 $\mathrm{FGP}$가 이루는 예각의 크기와 같다. 두 삼각형 $\mathrm{AFP}$, $\mathrm{AGP}$는 정삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FP}} = \overline{GP} = 2$ 삼각형 $\mathrm{AGH}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AG}} = 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}} = 4$, $\angle \mathrm{GAH} = 60 ^\circ$이므로 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{GH}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{AG}} ^{2} + {\overline{AH}} ^{2} - 2 \overline{AG} \times \overline{AH} \times \cos 60 ^\circ$ $\displaystyle = 2 ^{2} + 4 ^{2} - 2 \times 2 \times 4 \times \frac{1}{2}$$= 12$ $\therefore$ $\displaystyle \mathrm{\overline{GH}} = 2 \sqrt{3}$ $\triangle \mathrm{AGH} \equiv \triangle \mathrm{AFH}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{FH}} = 2 \sqrt{3}$ 두 삼각형 $\mathrm{FGP}$, $\mathrm{FHG}$는 이등변삼각형이므로 두 점 $\mathrm{P}$, $\mathrm{H}$에서 선분 $\mathrm{FG}$에 내린 수선의 발을 점 $\mathrm{Q}$라 하면 점 $\mathrm{Q}$는 선분 $\mathrm{FG}$의 중점이다. 이때, 두 평면 두 평면 $\mathrm{FHG}$와 $\mathrm{FGP}$가 이루는 예각의 크기는 $\angle \mathrm{PQH}$이다. 선분 $\mathrm{PQ}$와 선분 $\mathrm{FG}$는 서로 수직이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \sqrt{2 ^{2} - \left( \sqrt{2} \right) ^{2}} = \sqrt{2}$ 선분 $\mathrm{QH}$와 선분 $\mathrm{FG}$는 서로 수직이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{HG}} = \sqrt{\left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} - \left( \sqrt{2} \right) ^{2}} = \sqrt{10}$ 삼각형 $\mathrm{PQH}$에서 코사인법칙에 의하여 $\cos \theta$$\displaystyle = {\frac{\mathrm{{\overline{PQ}} ^{2} + {\overline{QH}} ^{2} - {\overline{PH}} ^{2}}}{2 \mathrm{\overline{PQ}} \times \overline{QH}}}$ $\displaystyle = \frac{\left( \sqrt{2} \right) ^{2} + \left( \sqrt{10} \right) ^{2} - 2 ^{2}}{2 \times \sqrt{2} \times \sqrt{10}}$ $\displaystyle = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$