정사각형과 닮음

[출제의도] 이차방정식을 이용하여 수학 내적문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 삼각형 $\mathrm{GCE}$와 삼각형 $\mathrm{FBE}$가 닮음이므로 정사각형의 한 변의 길이를 $x$$\mathrm{cm}$라 하면 변 $\mathrm{BF}$의 길이는 $\displaystyle \frac{x + 4}{2}$$\mathrm{cm}$이다.

사다리꼴 $\mathrm{BCGF}$의 넓이가 $60$$\mathrm{cm} ^{2}$에서 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( \frac{x + 4}{2} + 2 \right) \times x = 60$ $x ^{2} + 8 x - 240 = 0$, $( x - 12 ) ( x + 20 ) = 0$ $x = 12$ 또는 $x = - 20$ $x > 0$이므로 $x = 12$ [다른 풀이] 삼각형 $\mathrm{GCE}$와 삼각형 $\mathrm{FBE}$가 닮음이고 $\displaystyle \mathrm{\triangle} GCE = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$ $\mathrm{\triangle} FBE =$□$\mathrm{FBCG}$$\mathrm{+} \triangle GCE = 60 + 4 = 64$ 닮은 두 삼각형의 넓이의 비는 $4 : 64 = 1 : 16$이므로 닮음비는 $1 : 4$이다. 정사각형의 한 변의 길이를 $x$$\mathrm{cm}$라 하면 $\displaystyle x + 4 = 4 \times \overline{\mathrm{CE}}$, $x + 4 = 16$ ∴ $x = 12$