정사각형 위를 도는 점의 위치와 급수

양의 실수 $t$에 대하여 한 변의 길이가 1인 정사각형 ABCD 위의 점 $\mathrm{P} _{0}$, $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{P} _{3}$, $\cdots$ 은 다음과 같은 규칙을 따라 정해진다.

[규칙 1] $\mathrm{P} _{0} = A$ [규칙 2] 자연수 $n$에 대하여 점 ${\mathrm{P}} _{n - 1}$에서 점 ${\mathrm{P}} _{n}$까지 정사각형 ABCD의 변을 반시계방향으로 따라 가는 경로의 길이는 $t ^{n - 1}$이다.

다음을 만족시키는 실수 $k$의 최솟값은? [4점]

$\displaystyle k < t < \frac{39}{40}$인 $t$에 의하여 정해지는 점 $\mathrm{P} _{0}$, $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{P} _{3}$, $\cdots$ 중에서 무수히 많은 점들이 변 DA 위에 있다.

①$\displaystyle \frac{30}{31}$②$\displaystyle \frac{32}{33}$③$\displaystyle \frac{34}{35}$④$\displaystyle \frac{36}{37}$⑤$\displaystyle \frac{38}{39}$