대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 수 배열

문제

그림과 같이 크기가 같은 정사각형 $1$ 개, $4$ 개, $9$ 개, $\cdots$ 로 만들어진 도형 $A _{1} , A _{2} , A _{3} , \cdots$ 이 이어져 있다. 각 정사각형에 자연수를 규칙적으로 적어 나갈 때, $A _{1} , A _{3} , A _{5} , \cdots$ 에는 정중앙(어두운 부분)에 적힌 수가 있다. 예를 들면, $A _{3}$ 의 정중앙에 적힌 수는 $10$ 이고, $A _{5}$ 의 정중앙에 적힌 수는 $43$ 이다. 이때 $A _{9}$ 의 정중앙에 적힌 수를 구하시오. [4점]

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245

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해설

[출제의도] 주어진 수열의 특징을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. $A _{8}$ 의 마지막 수는 $\displaystyle 1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \cdots + 8 ^{2} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204$ 이므로 $A _{9}$ 의 처음 수는 $205$ 이다. $A _{9}$ 의 마지막 수는 $1 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \cdots + 9 ^{2} = 204 + 81 = 285$ 따라서 $A _{9}$ 의 정중앙에 적힌 수는 $\displaystyle \frac{205 + 285}{2} = \frac{490}{2} = 245$

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