정사각형 속 삼각형

[출제의도] 주어진 상황을 이차방정식으로 표현하고 선분의 길이를 구한다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{FD}} = \mathit{x}$라 하자. 조건 (가)에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{EB}} : {\overline{FD}} = 2 : 1$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EB}} = 2 \mathit{x}$이고 $0 < x < 1$이다. 정사각형의 한 변의 길이가 $2$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AE}}} = 2 - 2 x$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AF}}} = 2 - \mathit{x}$ 그러므로 삼각형 $\mathrm{AEF}$의 넓이는 $\displaystyle \left. \frac{1}{2} \left( 2 - 2 x \right) \left( 2 - x \right) \right.$$\left. = x ^{2} - 3 x + 2 \right.$ 조건 (나)에 의하여 $\left. x ^{2} - 3 x + 2 \right.$$\displaystyle = \frac{10}{9}$ $9 x ^{2} - 27 x + 8 = 0$ $\left( 3 x - 1 \right) \left( 3 x - 8 \right) = 0$ $\displaystyle x = \frac{1}{3}$ 또는 $\displaystyle x = \frac{8}{3}$ $0 < x < 1$이므로 $\displaystyle x = \frac{1}{3}$ 따라서 선분 $\mathrm{AF}$의 길이는 $\displaystyle \mathrm{\overline{AF}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{AD} - \overline{FD}$$\displaystyle = 2 - \frac{1}{3}$$\displaystyle = \frac{5}{3}$