정사각형 속 사각형 넓이

[출제의도] 도형의 성질과 이차방정식을 이용하여 정사각형의 넓이를 구한다.

정사각형의 한 변의 길이를 $x$($x > 0$)라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} = \mathit{x} - 5$ $\square \left. \mathrm{AECF} \right.$$= \square \mathrm{ABCD} - \left( \triangle ABE + \triangle FDA \right)$ $\displaystyle = x ^{2} - \left\{ \frac{1}{2} \times 4 x + \frac{1}{2} \times x ( x - 5 ) \right\}$$\displaystyle = x ^{2} - \left( \frac{1}{2} x ^{2} - \frac{1}{2} x \right)$$\displaystyle = \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{1}{2} x$ 사각형 $\mathrm{AECF}$의 넓이가 $78$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} x ^{2} + \frac{1}{2} x = 78$ $x ^{2} + x - 156 = 0$ 인수분해하면 $\left( x + 13 \right) \left( x - 12 \right) = 0$ $x = - 13$ 또는 $x = 12$ $x > 0$이므로 $x = 12$ 따라서 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이는 $12 ^{2} = 144$