정사각형 삼각형 급수

$S _{1} =$($\triangle \mathrm{A} _{1} E _{1} D _{1}$의 넓이)+($\triangle \mathrm{E} _{1} B _{1} F _{1}$의 넓이)+($\triangle \mathrm{D} _{1} F _{1} C _{1}$의 넓이) $\displaystyle = 1 + \frac{1}{2} + 1$$\displaystyle = \frac{5}{2}$ $\triangle \mathrm{E} _{1} F _{2} D _{1}$으로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{E} _{1} F _{2}} : \overline{\mathrm{D} _{1} F _{2}} = 1 : 3$이므로 정사각형 $\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 한 변의 길이를 $x$라 두면 $\triangle \mathrm{A} _{2} E _{1} B _{2}$로부터 $\displaystyle \overline{\mathrm{E} _{1} B _{2}} : \overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{x}{2} : x$$= 1 : 3$ 따라서 $\displaystyle x = \frac{3 \sqrt{2}}{5}$ $\square \mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}$과 $\square \mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}$의 길이 비는 $\displaystyle 1 : \frac{3 \sqrt{2}}{10}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} S _{n}$$\displaystyle = \frac{\frac{5}{2}}{1 - \left( \frac{3 \sqrt{2}}{10} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{82}{100}}$$\displaystyle = \frac{125}{41}$