대수수열의 합수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정사각형 넓이와 세제곱합

문제

그림은 직선 y=2xy = 2 x와 한 변의 길이가 11인 정사각형 11개, 한 변의 길이가 22인 정사각형 22개, ⋯\cdots, 한 변의 길이가 nn인 정사각형 nn개를 나타낸 것이다. 원점으로부터의 거리가 1+2+3+⋯+n1 + 2 + 3 + \cdots + n인 xx축 위의 점 A\mathrm{A}를 지나고 yy축에 평행인 직선이 y=2xy = 2 x와 만나는 점을 B\mathrm{B}라 하자.

다음은 이를 이용하여 어떤 수열의 합을 구하는 과정이다.

모든 정사각형들의 넓이의 합은 직각삼각형 OAB\mathrm{OAB}의 넓이와 같으므로, (가) =12×OA‾×AB‾\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times \overline{OA} \times \overline{AB}이다. OA‾=1+2+3+⋯+n\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \mathit{1} + 2 + 3 + \cdots + n이고 AB‾=\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = (나) 이다. 따라서, (가) == (다) 이다.

이 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

(가)(나)(다)
①12+22+32+⋯+n21 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \cdots + n ^{2}n2n ^{2}n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}
②12+22+32+⋯+n21 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + \cdots + n ^{2}n(n+1)n ( n + 1 )n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}
③13+23+33+⋯+n31 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \cdots + n ^{3}n(n+1)n ( n + 1 )n(n+1)(2n+1)6\displaystyle \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}
④13+23+33+⋯+n31 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \cdots + n ^{3}n(n+1)n ( n + 1 ){n(n+1)2}2\displaystyle \left\{ \frac{n ( n + 1 )}{2} \right\} ^{2}
⑤13+23+33+⋯+n31 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \cdots + n ^{3}n2n ^{2}{n(n+1)2}2\displaystyle \left\{ \frac{n ( n + 1 )}{2} \right\} ^{2}
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④

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해설

(가) 13+23+33+⋯+n31 ^{3} + 2 ^{3} + 3 ^{3} + \cdots + n ^{3} (나) n(n+1)n ( n + 1 ), (다) {n(n+1)2}2\displaystyle \left\{ \frac{n ( n + 1 )}{2} \right\} ^{2}

태그

#세제곱합#빈칸

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