미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각형 넓이의 급수

문제

첫째항이 11이고 공비가 13\displaystyle \frac{1}{3}인 등비수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 대각선의 길이가 ana _{n}인 정사각형의 넓이를 SnS _{n}이라 하자. ∑n=1∞Sn=qp\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{q}{p}라 할 때, p+qp + q의 값은? (단, pp, qq는 서로소인 자연수이다.) [4점] ①2222②2323③2424④2525⑤2626

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④

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해설

[출제의도] 무한등비급수를 활용하여 여러 가지 문제 해결하기 대각선의 길이가 aa인 정사각형의 한 변의 길이는 a2\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}이고 정사각형의 넓이는 12a2\displaystyle \frac{1}{2} a ^{2}이다. 이때, a1=1,a2=13,a3=(13)2,⋯\displaystyle a _{1} = 1 , a _{2} = \frac{1}{3} , a _{3} = \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} , \cdots이므로 ∑n=1∞Sn=12{12+(13)2+(13)4+⋯ }\displaystyle \sum\limits _{n=1} ^{\infty} S _{n} = \frac{1}{2} \left\{ 1 ^{2} + \left( \frac{1}{3} \right) ^{2} + \left( \frac{1}{3} \right) ^{4} + \cdots \right\} =12⋅11−19=916=qp\displaystyle = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{9}{16} = \frac{q}{p}이다. 따라서, p=16,q=9p = 16 , q = 9이므로 p+q=25p + q = 25이다.

태그

#등비급수#정사각형

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