대수지수와 로그수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 넓이 분할

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 9090인 정사각형을 네 개의 직사각형으로 나누었더니 각각의 넓이는 A=2a3bA = 2 ^{a} 3 ^{b} , B=2a−13b+1B = 2 ^{a - 1} 3 ^{b + 1} C=22a−13bC = 2 ^{2 a - 1} 3 ^{b} , D=2a+13b+1D = 2 ^{a + 1} 3 ^{b + 1} 이다. 이때, 넓이 AA의 값을 구하시오. (단, aa, bb는 정수이다.) [4점]

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648

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해설

[출제의도] 지수법칙을 활용하여 도형과 관련된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. AB=CD\displaystyle \frac{A}{B} = \frac{C}{D}이므로 2a3b2a−13b+1=22a−13b2a+13b+1\displaystyle \frac{2 ^{a} 3 ^{b}}{2 ^{a-1} 3 ^{b+1}} = \frac{2 ^{2a-1} 3 ^{b}}{2 ^{a+1} 3 ^{b+1}} 23=2a−23\displaystyle \frac{2}{3} = \frac{2 ^{a-2}}{3} ∴ a=3a = 3 ∴ A=8⋅3bA = 8 \cdot 3 ^{b}, B=12⋅3bB = 12 \cdot 3 ^{b}, C=32⋅3bC = 32 \cdot 3 ^{b}, D=48⋅3bD = 48 \cdot 3 ^{b} ∴A+B+C+D=(8+12+32+48)⋅3bA + B + C + D = ( 8 + 12 + 32 + 48 ) \cdot 3 ^{b}=100⋅3b= 100 \cdot 3 ^{b}=902= 90 ^{2} 3b=813 ^{b} = 81=34= 3 ^{4}이므로 b=4b = 4 ∴ A=23⋅34=648A = 2 ^{3} \cdot 3 ^{4} = 648

태그

#지수법칙#활용

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