정사각형 넓이 비

[출제의도] 피타고라스 정리와 이차방정식을 이해하여 변의 길이를 구한다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \mathit{x}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} > {\overline{AC}}$에서 $x > 8$ 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} ^{2} = {\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}}$$\displaystyle \mathrm{=} \sqrt{{\overline{AB}} ^{2} + {\overline{AC}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{x ^{2} + 8 ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{x ^{2} + 64}$ 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이를 구하면 $\mathrm{\triangle} ABC$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times {\overline{AB}} \times {\overline{AC}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times x \times 8$$= 4 x$ 사각형 $\mathrm{BDEC}$의 넓이를 구하면 $\mathrm{\square} BDEC$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{BC}} ^{2}$$= x ^{2} + 64$ 주어진 조건에서 $\mathrm{\square} BDEC = 5$$\mathrm{\triangle} ABC$이므로 $x ^{2} + 64 = 5 \times 4 x = 20 x$ $x ^{2} - 20 x + 64 = 0$ 인수분해하면 $\left( x - 4 \right) \left( x - 16 \right) = 0$ $x = 4$ 또는 $x = 16$ 조건에 의해 $x > 8$이므로 $x = 16$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = 16$