중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각형 넓이 방정식

문제

그림과 같이 길이가 11인 선분 AB\mathrm{AB} 위의 점 C\mathrm{C}에 대하여 선분 AC\mathrm{AC}를 한 변으로 하는 정사각형 ACDE\mathrm{ACDE}가 있다. 선분 CD\mathrm{CD}를 삼등분하는 점 중 점 D\mathrm{D}에 가까운 점을 F\mathrm{F}라 하자. 정사각형 ACDE\mathrm{ACDE}의 넓이와 삼각형 BFC\mathrm{BFC}의 넓이의 합이 58\displaystyle \frac{5}{8}일 때, AC‾=qp\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} = \frac{\mathit{q}}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 주어진 상황을 이차방정식으로 표현하고 선분의 길이를 구한다.

AC‾=a\displaystyle {\mathrm{\overline{AC}} = \mathit{a}}라 하자. 사각형 ACDE{\mathrm{ACDE}}는 정사각형이므로 □ACDE{\square \mathrm{ACDE}}=a2{= a ^{2}} 선분 CD{\mathrm{CD}}를 삼등분하는 점 중 점 D{\mathrm{D}}에 가까운 점이 F{\mathrm{F}}이므로 CF‾=23a\displaystyle {\mathrm{\overline{CF}} = \frac{2}{3} \mathit{a}} BC‾=1−a\displaystyle {\mathrm{\overline{BC}} = 1 - \mathit{a}}이므로 △BFC{\triangle \mathrm{BFC}}=12×(1−a)×23a\displaystyle {= \frac{1}{2} \times ( 1 - \mathit{a} ) \times \frac{2}{3} a}=13a−13a2\displaystyle {= \frac{1}{3} a - \frac{1}{3} a ^{2}} 그러므로 □ACDE+△BFC{\square \mathrm{ACDE} + \triangle \mathrm{BFC}}=a2+13a−13a2\displaystyle {= a ^{2} + \frac{1}{3} a - \frac{1}{3} a ^{2}}=23a2+13a\displaystyle {= \frac{2}{3} a ^{2} + \frac{1}{3} a} 이므로 23a2+13a\displaystyle {\frac{2}{3} a ^{2} + \frac{1}{3} a}=58\displaystyle {= \frac{5}{8}} 16a2+8a−15=0{16 a ^{2} + 8 a - 15 = 0} (4a+5)(4a−3)=0{( 4 a + 5 ) ( 4 a - 3 ) = 0} a=−54\displaystyle {a = \mathit{-} \frac{5}{4}} 또는 a=34\displaystyle {a = \frac{3}{4}} 0<a<1{0 < a < 1}이므로 a=34\displaystyle {a = \frac{3}{4}} 따라서 p=4{p = 4}, q=3{q = 3}이므로 p+q=4+3=7{p + q = 4 + 3 = 7}

태그

#이차방정식#넓이

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