중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정사각형 내부 넓이 합

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 $18$ 인 정사각형 ${\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{D}}$ 의 내부에 점 ${\mathrm{P}}$ 가 있다. 네 변 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}}}$ , $\displaystyle {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}}$ , $\displaystyle {\overline{{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{D}}}}$ , $\displaystyle {\overline{{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{A}}}}$ 위에 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{E}}}} = {\overline{{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{G}}}} = \frac{1}{2} {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}}}$ , $\displaystyle {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{F}}}} = {\overline{{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{H}}}} = \frac{1}{3} {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}}$ 가 되도록 네 점 ${\mathrm{E}}$ , ${\mathrm{F}}$ , ${\mathrm{G}}$ , ${\mathrm{H}}$ 를 정할 때, 네 삼각형 $\triangle \mathrm{P} \mathit{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{E}}$ , $\triangle \mathrm{P} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{F}}$ , $\triangle \mathrm{P} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{G}}$ , $\triangle \mathrm{P} \mathit{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{H}}$ 의 넓이의 합은? [4점]

① $120$ ② $125$ ③ $130$ ④ $135$ ⑤ $140$

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④

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해설

[출제의도] 식의 계산을 활용하여 삼각형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다 아래와 같이 점 P를 지나면서 정사각형 각 변에 평행한 선분 2개를 긋자. 여기서 $\displaystyle {\overline{L P}} = a , {\overline{P J}} = b$ 라 두면 네 삼각형의 넓이의 합은 다음과 같다.

(넓이) $\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{E}}}} \times a + {\overline{{\mathrm{G}} \mathit{\mathrm{C}}}} \times ( 1 8 - a ) \right\} + \frac{1}{2} \left\{ {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{F}}}} \times b + {\overline{{\mathrm{H}} \mathit{\mathrm{D}}}} \times ( 1 8 - b \right\}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ 9 \times a + 9 \times ( 1 8 - a ) \right\} + \frac{1}{2} \left\{ 6 \times b + 6 \times ( 1 8 - b ) \right\}$ $= 8 1 + 5 4 = 1 3 5$

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