정사각형 꼭짓점 수 행렬

한 변의 길이가 각각 $1 , 3 , 5 , \cdots , 2 n - 1 , \cdots$ 인 정사각형의 변과 꼭짓점에 아래 그림과 같이 일정한 간격으로 자연수가 규칙적으로 배열되어 있다. 이때, 각 정사각형에서 $1$은 왼쪽 아래 꼭짓점 바로 위에 놓여 있다.

각 정사각형의 네 꼭짓점에 놓이는 자연수를 성분으로 하는 이차정사각행렬을 차례로 $A _{1} , A _{2} , A _{3} , \cdots , A _{n} , \cdots$이라 하자. 예를 들면, $\displaystyle A _{1} = {\begin{pmatrix} 1 & & 2 \\ 4 & & 3 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle A _{2} = {\begin{pmatrix} 3 & & 6 \\ 12 & & 9 \end{pmatrix}}$이다. 행렬 $A _{15}$의 모든 성분의 합을 구하시오. [4점]