정사각형 종이 접기로 생긴 사다리꼴 넓이의 최솟값

$xy$좌표평면에서 $\mathrm{A}$의 위치를 원점으로 잡고 $\mathrm{B} ( 1 , 0 ) , C ( 1 , 1 )$, $\mathrm{D} ( 0 , 1 )$라 하자. 점 $\mathrm{G} , H$의 위치를 각각 $( 1 , a ) , ( 0 , b )$라 놓으면 평행사변형 $\mathrm{EFGH}$의 면적 $\mathrm{S}$는 두 삼각형 $\mathrm{ABH} , BGH$ 면적의 합과 같으므로 $\displaystyle \mathrm{S} = \frac{1}{2} ( \mathit{a} + b ) \cdots$(1) 점 $\mathrm{E}$의 위치를 $( x , 1 )$이라 하면 직각 삼각형 $\mathrm{ADE}$로부터 $b ^{2} = ( 1 - b ) ^{2} + x ^{2}$, $\displaystyle b = \frac{1 + x ^{2}}{2}$ 또한, 직각 삼각형 $\mathrm{ECG}$와 $\mathrm{EFG}$에서 $( 1 - x ) ^{2} + ( 1 - a ) ^{2} = 1 + a ^{2}$, $\displaystyle a = \frac{( 1 - x ) ^{2}}{2}$ 이들 관계를 식 (1)에 대입하면 $\displaystyle {\mathrm{S}} = \frac{1}{4} \left\{ ( 1 - x ) ^{2} + 1 + x ^{2} \right\} = \frac{1}{2} ( x ^{2} - x + 1 )$ 이다. 따라서 면적의 최솟값은 $\displaystyle x = \frac{1}{2}$일 때 $\displaystyle \frac{3}{8}$이다.