미적분Ⅰ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

정사각형 겹친 넓이 최대

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $ABCD$ 의 두 대각선의 교점의 좌표는 $( 0 , 1 )$ 이고, 한 변의 길이가 $1$ 인 정사각형 $EFGH$ 의 두 대각선의 교점은 곡선 $y = x ^{2}$ 위에 있다. 두 정사각형의 내부의 공통부분의 넓이의 최댓값은? (단, 정사각형의 모든 변은 $x$ 축 또는 $y$ 축에 평행하다.) [4점]

① $\displaystyle \frac{4}{27}$ ② $\displaystyle \frac{1}{6}$ ③ $\displaystyle \frac{5}{27}$ ④ $\displaystyle \frac{11}{54}$ ⑤ $\displaystyle \frac{2}{9}$

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①

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해설

두 정사각형의 공통부분의 넓이를 $S ( a )$ 이라 하면 $\displaystyle S ( a ) = \left( \frac{1}{2} - \left( a - \frac{1}{2} \right) \right) \left( a ^{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \right)$ $= ( 1 - a ) a ^{2}$ $= a ^{2} - a ^{3}$ $( 0 \prec a \prec 1 )$ $S ( a )$ 의 최댓값을 구하기 위해서 $S' ( a ) = 2 a - 3 a ^{2} = 0$ $\displaystyle a = 0 , \frac{2}{3}$ 따라서 $S ( a )$ 의 최댓값은 $\displaystyle S ( {\frac{2}{3}} ) = \frac{4}{9} - \frac{8}{27} = \frac{4}{27}$

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