정사각형 개수 수열

한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $A$가 있다. 그림과 같이 새로 그리는 정사각형의 한 변이 $A$의 한 변과 평행하도록 다음 [단계]에 따라 정사각형을 그린다.

[단계 $1$] 정사각형 $A$의 각 꼭짓점을 한 꼭짓점으로 하고 한 변의 길이가 $\displaystyle \frac{1}{2}$인 정사각형을 $A$와 한 점에서만 만나도록 각각 그려 그림 $A _{1}$을 얻는다. [단계 $2$] [단계 $1$]에서 새로 그린 정사각형의 꼭짓점 중 다른 정사각형과 만나지 않은 각 꼭짓점을 한 꼭짓점으로 하고, 한 변의 길이가 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{2}$인 정사각형을 $A _{1}$과 한 점에서만 만나도록 각각 그려 그림 $A _{2}$를 얻는다. $\vdots _{{} _{}} ^{{} ^{}}$ [단계 $n$] [단계 $n - 1$]에서 새로 그린 정사각형의 꼭짓점 중 다른 정사각형과 만나지 않은 각 꼭짓점을 한 꼭짓점으로 하고, 한 변의 길이가 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}$인 정사각형을 $A _{n - 1}$과 한 점에서만 만나도록 각각 그려 그림 $A _{n}$을 얻는다.

$\cdots$

자연수 $n$에 대하여 그림 $A _{n}$의 정사각형의 개수를 $a _{n}$이라 하자. 예를 들어, $a _{1} = 5$, $a _{2} = 17$이다. $\displaystyle \frac{a _{15} + 1}{a _{10} + 1}$의 값은? [4점] ①$237$②$240$③$243$④$246$⑤$249$